Tizio e Caio

Tizio è alto 180 cm e pesa 70 Kg, Caio è alto 160 cm e pesa 50 Kg.

rm(list=ls())
Tizio = c(180,70)
Caio = c(160,50)
X = rbind(Tizio,Caio)
colnames(X) = c("Altezza","Peso")
X
      Altezza Peso
Tizio     180   70
Caio      160   50

Spazio delle variabili

plot(X, xlim=c(0,200), ylim=c(0,200))
text(x=X[,"Altezza"], y=X[,"Peso"], labels = row.names(X), pos=3)
# vettore delle medie
barx = matrix(colMeans(X), ncol=1)
barx
     [,1]
[1,]  170
[2,]   60
# baricentro (vettore delle medie trasposto)
baricentro = t(barx)
baricentro
     [,1] [,2]
[1,]  170   60
points(baricentro, pch=19)

Spazio delle osservazioni

tX = t(X)
plot(tX, xlim=c(0,200), ylim=c(0,200), pch=".")
text(x=tX[,"Tizio"], y=tX[,"Caio"], labels = row.names(tX), pos=4)
arrows(x0=0,y0=0,x1=tX[,"Tizio"], y1=tX[,"Caio"])

Una matrice \(3\times 2\)

Matrice \(X\)

n = 3
p = 2
X = matrix(c(4,1,-1,3,3,5) ,byrow=TRUE, ncol=p, nrow=n)
X
     [,1] [,2]
[1,]    4    1
[2,]   -1    3
[3,]    3    5

Spazio delle osservazioni: vettori scarto dalla media

tildex1 = matrix(X[,1] - mean(X[,1]), ncol=1)
tildex1
     [,1]
[1,]    2
[2,]   -3
[3,]    1
tildex2 = matrix(X[,2] - mean(X[,2]), ncol=1)
tildex2
     [,1]
[1,]   -2
[2,]    0
[3,]    2

Per una rappresentazione dei due vettori scarto dalla media, si veda Figura 1.

Vettori scarto dalla media in $n=3$ dimensioni

Vettori scarto dalla media in \(n=3\) dimensioni

Devianze, codevianze e correlazione:

# devianze 
ns11 = t(tildex1) %*% tildex1
ns11
     [,1]
[1,]   14
# uguale a 
(n-1)*var(X[,1])
[1] 14
ns22 = t(tildex2) %*% tildex2
ns22
     [,1]
[1,]    8
# uguale a 
(n-1)*var(X[,2])
[1] 8
# codevianza
ns12 = t(tildex1) %*% tildex2
ns12
     [,1]
[1,]   -2
# uguale a
(n-1)*var(X)[1,2]
[1] -2
# correlazione
r12 = ns12/sqrt(ns11*ns22)
r12
           [,1]
[1,] -0.1889822
# uguale a
cor(X)[1,2]
[1] -0.1889822
# angolo in radianti tra tildex1 e tildex2
acos(r12)
         [,1]
[1,] 1.760922
# angolo in gradi tra tildex1 e tildex2
acos(r12)*(180/pi)
         [,1]
[1,] 100.8934

Si provi a risolvere il seguente esercizio. Data una matrice \(X\) di dimensioni \(10\times 2\), sapendo che:

  • la lunghezza dei due vettori scarto dalla media \(\tilde{x}_1\) e \(\tilde{x}_2\) è pari a 4 e 9 rispettivamente
  • l’angolo (in gradi) tra \(\tilde{x}_1\) e \(\tilde{x}_2\) è pari a \(70\)

calcolare la matrice di varianze e covarianze \(S\).

         [,1]     [,2]
[1,] 1.600000 1.231273
[2,] 1.231273 8.100000